第107章 一题多解！秦风的数学才情惊艳考场！（1/4）

考场内的空气，仿佛被那道“骨灰级”的开局数学题给抽干了氧气，只剩下令人窒息的凝重与绝望。\w.a!n-b?e¨n..,i,n!f￠o^

“沙沙沙……”

除了少数几人还在徒劳地用笔尖戳着草稿纸，试图从那如同天书般的题目中榨出一点点灵感之外，大部分考生的动作都近乎凝固。有的双手抱头，紧闭双眼，仿佛在进行某种神秘的“通灵仪式”，企图从数学之神那里获得启示；有的则目光呆滞地望着天花板，开始认真思考“宇宙的尽头是不是也是一道解不出的数学题”这种高深莫测的哲学问题。

“小法拉第”周凯同学，此刻感觉自己的物理学知识储备在数学题面前简直就是个战五渣。他偷偷瞄了一眼旁边的秦风，只见对方依旧是那副云淡风轻的模样，手中的派克钢笔在答题卡上行云流水般地滑动着，那从容不迫的气度，与周围一片“世界末日”的景象形成了鲜明对比。

“这家伙……他不会真的把这题当成‘1+1’来做了吧？”周凯心中哀嚎，感觉自己的膝盖又中了一箭，不，是中了一万支箭，还是带倒钩的那种！

而此刻的秦风，确实已经完成了对第一题的常规解法。

在他那被【神之右脑·巅峰降临】buff强化到极致的大脑中，这道题的常规解题路径清晰得如同掌上观纹。

常规解法思路：

利用最小元：设 k0=min?sk_0 = \min sk0=mins。由于 sss 中元素均为正整数，这样的最小元必然存在。

构造公差：考虑集合 s′={s?k0is∈s}s' = \{s - k_0 | s \in s\}s′={s?k0is∈s}。则 min?s′=0\min s' = 0mins′=0，且 s′s's′ 同样满足加法封闭性。若 s′s's′ 中除了0之外还有其他元素，则必然存在一个最小正元素，记为 ddd。

证明 s′s's′ 中的元素都是 ddd 的倍数：利用带余除法和 s′s's′ 的加法封闭性，可以证明如果 s′s's′ 中存在一个元素不是 ddd 的倍数，那么通过作差和取最小正元素，可以得到一个比 ddd 更小的正元素，这与 ddd 的最小性矛盾。因此，s′s's′ 中的所有元素都是 ddd 的倍数，即 s′={mdim∈n0}s' = \{md | m \in \mathbb{n}_0\}s′={mdim∈n0}。

还原到集合 sss：由此可得 s={k0+mdim∈n0}s = \{k_0 + md | m \in \mathbb{n}_0\}s={k0+mdim∈n0}，这便是题目结论中的等差数列形式。

特殊情况讨论：如果 s′={0}s' = \{0\}s′={0}，则意味着 s={k0}s = \{k_0\}s={k0}。此时，根据条件1，k0+k0=2k0∈sk_0 + k_0 = 2k_0 \in sk0+k0=2k0∈s，所以 $2k_0 = k_0，推出，推出 ，推出k_0 = 0，但这与，但这与 ，但这与s中元素为正整数矛盾（除非题目允许n=0的情况，但通常竞赛题会默认集合非空）。更严谨地，如果中元素为正整数矛盾（除非题目允许n=0的情况，但通常竞赛题会默认集合非空）。更严谨地，如果中元素为正整数矛盾（除非题目允许n=0的情况，但通常竞赛题会默认集合非空）。?完¨夲!鰰¨占/ !追/最¨辛`蟑/踕.更严谨地，如果s中只有一个元素中只有一个元素中只有一个元素k，则，则 ，则k+k=2k也在也在也在s 中，所以 \2k=k，，，k=0，矛盾。因此，矛盾。因此 ，矛盾。因此s$ 至少有两个元素。

更正：如果 s′={0}s' = \{0\}s′={0}，则 s={k0}s = \{k_0\}s={k0}。此时 k0+k0=2k0k_0+k_0 = 2k_0k0+k0=2k0 必须等于 k0k_0k0，这意味着 k0=0k_0=0k0=0，与正整数矛盾。所以 s′s's′ 不可能只有0。

再思考：如果 sss 中所有元素都是 k0k_0k0 的倍数，即 s={mk0im∈z+,m≥1}s = \{mk_0 | m \in \mathbb{z}^+, m \ge 1\}s={mk0im∈z+,m≥1}，这也是题目结论的一种形式。这种情况对应于上述推导中 d=k0d=k_0d=k0 的情形。

秦风的笔尖在答题卡上飞舞，每一个步骤都清晰明了，逻辑严谨。对于他而言，完成这种“标准解法”，不过是热身运动。

“嗯，常规方法虽然稳妥，但……总感觉少了点意思。”秦风写完最后一个句号，心中暗道。他那颗被“理论极限推演”能力和“跨学科知识融通”能力打磨得无比敏锐的大脑，对于这种仅仅停留在