第2章 新手礼包！过目不忘就是爽！（2/5）

学难题上。

那是一道以椭圆为背景，结合了函数、导数、不等式证明以及参数范围探讨的超级综合大题。题目条件繁复，设问层层递进，计算量和思维量都极其恐怖。

！若是四十分钟前，秦风看到这道题，恐怕连题目都读不明白，更别提解题了。

但现在，当他再次审视这道题目时，感觉却截然不同。

那些曾经如同乱码般的数学符号和专业术语，此刻在他眼中，都变得清晰明了。他甚至能从那冗长的题干中，迅速剥离出核心的已知条件和待求问题。

“第一问，求椭圆c的标准方程……这个简单，利用离心率和点在椭圆上，联立方程组即可。”

秦风的思路异常清晰，拿起笔，在草稿纸上飞快地演算起来。

e=ca=22e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}e=ac=22

x02a2+y02b2=1\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1a2x02+b2y02=1

a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2a2=b2+c2

几个基础公式在他脑海中自动浮现，代入题目给出的具体数值，一系列运算行云流水。

“a2=2，b2=1。所以椭圆c的方程为：x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1。”

仅仅两分钟，第一问便被他轻松拿下。

“第二问，设直线l与椭圆c交于a, b两点，若点p(1, 1/2)满足pa向量 + pb向量 = 0向量，求直线l的斜率k。”

“pa + pb = 0，意味着p是ab的中点。利用点差法或者韦达定理……”

秦风的笔尖在草稿纸上飞舞，各种解题方法在他脑海中闪现，并被迅速筛选出最优路径。

设直线l的方程为 y?12=k(x?1)y - \frac{1}{2} = k(x - 1)y?21=k(x?1)，代入椭圆方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程。

(1+2k2)x2?(4k2?2k)x+(2k2?2k?32)=0(1+2k^2)x^2 - (4k^2 - 2k)x + (2k^2 - 2k - \frac{3}{2}) = 0(1+2k2)x2?(4k2?2k)x+(2k2?2k?23)=0

利用韦达定理 xa+xb=4k2?2k1+2k2x_a + x_b = \frac{4k^2 - 2k}{1+2k^2}xa+xb=1+2k24k2?2k。

因为p是ab中点，所以 xp=xa+xb2=1x_p = \frac{x_a+x_b}{2} = 1xp=2xa+xb=1。

4k2?2k2(1+2k2)=1\frac{4k^2 - 2k}{2(1+2k^2)} = 12(1+2k2)4k2?2k=1

解这个关于k的方程，得到 k=?1k = -1k=?1。

“第二问，k=-1，也解决了！”秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。

这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！

真正的挑战，是第三问。

“第三问，在第二问的条件下，过点p作直线m垂直于l，交椭圆c于m, n两点。试问是否存在一个常数λ，使得 |pm|·|pn| = λ |pa|·|pb| 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。”

这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。

秦风的眉头微微蹙起。

他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”所能直接解决的范畴。~k?a￠n?s!h.u·h?o^u-.~c`o,m′它需要更深层次的理解和更灵活的运用。

“冷静……仔细分析……”秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”下去的无数知识点如同星辰般闪耀。

直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。

直线m的方程为 y?12=1(x?1)y - \frac{1}{2} = 1(x - 1)y?21=1(x?1)，即 y=x?12y = x - \frac{1}{2}y=x?21。

将直线m的方程代入椭圆方程 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：

x22+(x?12)2=1\frac{x^2}{2} + (x - \frac{1}{2})^2 = 12x2+(x?21)2=1

x22+x2?x+14=1\frac{x^2