第2章 新手礼包！过目不忘就是爽！（3/5）

}{2} + x^2 - x + \frac{1}{4} = 12x2+x2?x+41=1

32x2?x?34=0\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{3}{4} = 023x2?x?43=0

！6x2?4x?3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2?4x?3=0

设m(x?, y?)，n(x?, y?)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1 x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}x1x2=?63=?21。

ipmi?ipni=(x1?xp)2+(y1?yp)2?(x2?xp)2+(y2?yp)2|pm| \cdot |pn| = \sqrt{(x_1-x_p)^2 + (y_1-y_p)^2} \cdot \sqrt{(x_2-x_p)^2 + (y_2-y_p)^2}ipmi?ipni=(x1?xp)2+(y1?yp)2?(x2?xp)2+(y2?yp)2

由于点m, n在直线 y=x?12y = x - \frac{1}{2}y=x?21 上，且p(1, 1/2)也在这条直线上（因为直线m过p点），所以pm和pn的表达式可以简化。

实际上，p是弦mn上的一个定点。

ipmi?ipni=i(x1?xp)(x2?xp)i?(1+km2)|pm| \cdot |pn| = |(x_1-x_p)(x_2-x_p)| \cdot (1+k_m^2)ipmi?ipni=i(x1?xp)(x2?xp)i?(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。

ipmi?ipni=ix1x2?xp(x1+x2)+xp2i?(1+12)|pm| \cdot |pn| = |x_1x_2 - x_p(x_1+x_2) + x_p^2| \cdot (1+1^2)ipmi?ipni=ix1x2?xp(x1+x2)+xp2i?(1+12)

ipmi?ipni=i?12?1(23)+12i?2=i?12?23+1i?2=i?3+4?66i?2=i?16i?2=13|pm| \cdot |pn| = |-\frac{1}{2} - 1(\frac{2}{3}) + 1^2| \cdot 2 = |-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 1| \cdot 2 = |-\frac{3+4-6}{6}| \cdot 2 = |-\frac{1}{6}| \cdot 2 = \frac{1}{3}ipmi?ipni=i?21?1(32)+12i?2=i?21?32+1i?2=i?63+4?6i?2=i?61i?2=31。

这个计算过程，秦风写得极为流畅。

接下来是计算 |pa|·|pb|。

直线l的方程为 y?12=?1(x?1)y - \frac{1}{2} = -1(x - 1)y?21=?1(x?1)，即 y=?x+32y = -x + \frac{3}{2}y=?x+23。

代入椭圆方程 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：

x22+(?x+32)2=1\frac{x^2}{2} + (-x + \frac{3}{2})^2 = 12x2+(?x+23)2=1

x22+x2?3x+94=1\frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 12x2+x2?3x+49=1

32x2?3x+54=0\frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{4} = 023x2?3x+45=0

6x2?12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2?12x+5=0

设a(x?, y?)，b(x?, y?)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = \frac{12}{6} = 2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3 x_4 = \frac{5}{6}x3x4=65。

同样，p(1, 1/2)是弦ab的中点。

ipai?ipbi=i(x3?xp)(x4?xp)i?(1+kl2)|pa| \cdot |pb| = |(x_3-x_p)(x_4-x_p)| \cdot (1+k_l^2)ipai?ipbi=i(x3?xp)(x4?xp)i?(1+kl2)，这里 kl=?1k_l=-1kl=?1。